Espace détente [ attention y a un piège ]

Skullkid

Bah, c'est niveau terminale S, un peu difficile. Donc dans une classe du niveau de celle où tu étais, c'est bien possible qu'on l'ait donné.

Aethereal

Ma méthode n'étant pas rigoureuse, je ne vous ferez pas l'insulte de vous pas poster...

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Skullkid

Je précise : avant de montrer cette jolie égalité, ce serait bien de prouver que les deux membres existent et sont des nombres finis. [ et c'est d'ailleurs l'objet de 98% du travail ]

Aethereal

Un exercice que j'ai trouvé très beau : Prouver à l'aide d'une suite que l'ensemble des nombres premiers est infini.

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Marion · Pingouin Matheux Nombre de messages: 182 Age: 19 Date d'inscription: 18/06/2007

J'avais prouvé ça sans suite, en term, il me semble...

Et c'était rapide. =p

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tsoin tsoin

Skullkid

Oui, la démo sans utiliser de suite est très simple ^^

Par l'absurde, supposons que P soit fini, notons p1, ... , pn ses éléments, et N = p1.p2. ... .pn le produit des éléments de P. N+1 est premier avec N, la décomposition de N+1 en facteurs premiers ne fait donc apparaître aucun des éléments de P, contradiction.

Enfin ça peut être interessant de voir ta démo avec une suite...

Aethereal

En se basant sur la divergence de la suite harmonique...

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Skullkid

Hum, pour moi ce qui diverge c'est la série harmonique, la suite harmonique tend vers 0.

Tu peux nous montrer ?

Aethereal

Skullkid a écrit:

Hum, pour moi ce qui diverge c'est la série harmonique, la suite harmonique tend vers 0.

Tu peux nous montrer ?

Euh oui, désolé, une petite erreur de vocabulaire... Razz

Euh jte poste ça ce soir alors.

EDIT : Voilà j'ai pas noté tout tout, mais ya l'idée :

On suppose que l'ensemble des nombres premiers est fini et est : p1,p2, ... , pr).
On sait que pour tout n appartenant à |N, n = p1^(a1) + ... + pr^(ar), avec a1, ... , ar dans |N.

On considère le produit suivant : (désolé, j'ai rien pour écrire des maths donc c'est très laid)

(1/(1- 1/p1))* ... *(1/(1 - 1/pr) = (1 + 1/(p1²) + 1/(p2²)...)* ... *(1 + 1/(pr²) ...)
Par définition, ce produit doit être fini, or, par distributivité, on constate que le produit donne le somme pour n variant de 1 à l'infini des 1/n, puisque tout nombre entier peut s'exprimer sous la forme d'un produit de puissance de nombres entiers.
Cette somme est infinie.
D'où, l'ensemble des nombres entiers est infini. (désolé du manque de rigueur, je fais ça à la va-vite sans mon cours sous les yeux)

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